XT4. 高维固定效应模型

 

作者：胡雨霄 (伦敦政治经济学院)

 

实证分析中，我们经常需要控制各个维度的个体效应，以便尽可能减轻 遗漏变量 导致的偏误。在最常用的二维面板数据中，我们通常会采用 xtreg y x i.year, fe 的形式来控制 公司个体效应 和 年度效应。然而，在有些情况下，我们需要对三维甚至更高维度的数据进行分析 (例如，公司-年度-高管，省份-城市-行业-年度)，此时，一方面要考虑估计的可行性，另一方面还需兼顾计算速度问题。

本文介绍的 reghdfe 命令可以很好地达成上述目的。reghdfe 主要用于实现多维固定效应线性回归。该命令类似于 areg 及 xtreg,fe，但允许引入多维固定效应。此外，该命令在运行速度方面远远优于 areg 及 xtreg， 因此倍受研究者青睐。

本文对该命令的介绍基于 A Feasible Estimator for Linear Models with Multi-Way Fixed Effects (Correia, 2016）。

1. 命令的安装

我们可以使用 ssc install 命令安装最新版本的 reghdfe 相关程序文件。需要特别说明的是，该命令依赖于最新版的 gtools 命令，因此，需要同时安装后者，否则执行 reghdfe 时可能会提示 错误信息。

ssc install gtools, replace  
ssc install reghdfe, replace // 安装最新版命令

可以使用如下命令查看你使用的版本是否为最新版本 (如下是写作本文是的版本信息)：

. which ftools

D:/stata/plus\f\ftools.ado
*! version 2.49.1 08aug2023

. which reghdfe
D:/stata/plus\r\reghdfe.ado
*! version 6.12.3 08aug2023

2. 命令的语法

该命令的具体语法如下：

reghdfe depvar [indepvars] [if] [in] [weight], 
        absorb(absvars) [options]

其中， - depvar: 因变量 - indepvars: 解释变量 - absorb(absvars)：引入固定效应 - 可以包含多维固定效应，即 absorb (var1,var2,var3,...)。若想保存对某变量的固定效应，则运行命令absorb (var1,var2,FE3=var3) ， 变量 FE3 将保存对 var3 的固定效应估计结果。 - 可以包含不同效应间的交互影响，即absorb(var1#var2)。

值得注意的是，reghdfe 允许定类变量 (categorical variable) 与连续性变量 (continuous variable) 进行交互，即 absorb(i.var1#c.var2)。实证中很少引入这样的交互项。但如果对该问题感兴趣，可参考 Duflo (2014)。

3. Stata 实操

这一部分用两个实证的例子介绍如何运用 reghdfe。

3.1 估计双重差分的固定效应模型（DID)

该命令可用于估计双重差分的固定效应模型（DID）。在 「连享会推文专辑：倍分法 (DID)」 系列推文中，列举了用于估计 DID 模型的三个命令：reg, areg, 以及 xtreg。reghdfe 也可实现同样的估计结果，而且运行速度优于其他命令。

使用的数据请参考之前推文 Stata: 双重差分的固定效应模型。该数据模拟的情况为，政策冲击发生在 \(t = 14\) 时，对照组为 \(i = 1\)，控制组为 $ i = 0$。模型为 $ y = 0.3 + 0.19 i + 1.67 d + 0.56 i d + e $。

set obs 400
gen firm=_n  //生成企业数量
expand 24
bysort firm: gen t=_n  //时间跨度设定为24个季度（6年）
gen d=(t>=14)
label var d "=1 if post-treatment" //设定事件冲击发生在第14期
gen r=rnormal()
qui sum r, d
bysort firm: gen i=(r>=r(p50)) if _n==1
bysort firm: replace i=i[_n-1] if i==. & _n!=1 //设定处理组和对照组
drop r
label var i "=1 if treated group, =0 if untreated group" 
gen e = rnormal() //设定随机变量
label var e "normal random variable"
gen y = 0.3 + 0.19*i + 1.67*d + 0.56*i*d + e //模型设置

首先，回顾双重差分模型的设定形式，

\[ y_{it} = \alpha + \beta (G_i \times D_i) + \mu_i + \lambda_t + \epsilon_{it} \]

其中，\(G_i\) 为分组虚拟变量（处理组=1，控制组=0）；\(D_i\) 为分期虚拟变量（政策实施后=1，政策实施前=0）；交互项 $G_i D_i $ 表示处理组在政策实施后的效应。\(\mu_i\) 与 \(\lambda_t\) 分别为个体固定效应和时间固定效应。

具体用于估计政策冲击对公司的影响的命令如下。

gen did = i*d ///生成交互项
reghdfe y did, absorb(firm t) vce(cluster firm)

变量 did 即为交互项，其系数为双重差分模型重点考察的处理效应。命令 absorb(firm t) 同时引入了公司固定效应以及时间固定效应。结果如下。

reghdfe y did, absorb(firm t) vce(cluster firm)
(MWFE estimator converged in 2 iterations)

HDFE Linear regression                        Number of obs   =   9,600
Absorbing 2 HDFE groups                       F(   1,    399) =  175.80
Statistics robust to heteroskedasticity       Prob > F        =  0.0000
                                              R-squared       =  0.5102
                                              Adj R-squared   =  0.4875
                                              Within R-sq.    =  0.0198
Number of clusters (firm)    =        400     Root MSE        =  1.0043

                          (Std. Err. adjusted for 400 clusters in firm)
-----------------------------------------------------------------------
      |               Robust
    y |      Coef.   Std. Err.      t    P>|t|     [95% Conf. Interval]
------+----------------------------------------------------------------
  did |   .5656247   .0426601    13.26   0.000     .4817581    .6494914
_cons |   1.143579   .0084565   135.23   0.000     1.126954    1.160204
-----------------------------------------------------------------------

Absorbed degrees of freedom:
-----------------------------------------------------+

 Absorbed FE | Categories  - Redundant  = Num. Coefs |
-------------+---------------------------------------|
        firm |       400         400           0    *|
           t |        24           0          24     |
-----------------------------------------------------+
* = FE nested within cluster; treated as redundant for DoF computation

3.2 估计多维固定效应的线性模型（复制一篇 AER 论文）

这一小节将介绍如何运用 reghdfe 估计多维固定效应的线性模型。American Economic Review一篇文章，The Costs of Patronage: Evidence from the British Empire (Xu, 2018)， 提供的可供复制的代码中出现了大量 reghdfe 命令。本小节介绍该作者如何用 reghdfe 命令输出其文章Table 2第六列的结果。

Source: Xu, G. (2018). The Costs of Patronage: Evidence from the British Empire. American Economic Review, 108 (11): 3170-98.

作者在这篇文章中想要探究 任命制 (patronage) 对英国 政治体系 的影响。具体于 Table2，作者意图研究社会联系（social connections) 是否会影响政府官员的工资水平。Table 2中，第六列所估计的回归为：

\[log w_{ist} = \beta \times c_{it } + \theta_i + \omega_i + x_{it}'\gamma + \tau_t + \epsilon_{ist}\]

其中： - \(logw_{ist}\)为政府官员 \(i\) 于时间 \(t\) 在 \(j\) 州执政时的对数工资水平。Stata 命令中，该变量名为 log_salary_governor_gbp - \(c_{it}\) 为虚拟变量（Dummy Variable)，当政府官员与其上任官员存在社会联系时，该变量取1。如若不然，则取0。社会联系包括：共同祖先，贵族身份以及教育背景。Stata 命令中，该变量名为 connected - \(\theta_i\) 为政府官员固定效应。该部分的设置为了解决政府官员的异质性 (heterogeneity) 问题。例如，具有较强能力的政府官员更有可能建立更多的社会关系。Stata 命令中, aid 为不同官员的 unique ID 变量。 - \(\omega_i\) 为政府官员执政时长固定效应。设置该部分是因为，执政时间的长短可能也会对社会关系产生影响。Stata 命令中, duration 为官员执政时长变量。 - \(x_{it}'\) 为控制变量。作者选用了执政者在历史上执政过的州的数目。Stata 命令中，该变量名为 no_colonies 。 - \(\gamma_t\) 为年份固定效应。该部分的设置是为了吸收执政者们在不同时期受到的共同时间冲击。Stata 命令中, year 为年份变量。 - \(\epsilon_{ist}\) 为残差。作者使用了聚类标准误的方法。

该回归的原假设为，\(H_0\): 社会联系 (connected) 与政府官员的工资水平 (log_salary_governor_gbp) 无关。若 connected 的系数 \(\beta\) 不显著，则不拒绝原假设。若 \(\beta\) 显著，则拒绝原假设，并可以判定社会联系对政府官员的工资水平显著相关。

用 Stata 实现该回归的命令如下。

reghdfe log_salary_governor_gbp no_colonies connected, ///
        absorb(aid year duration) ///
        vce(cluster bilateral)

其中，absorb(aid year duration) 同时引入了官员固定效应、时间固定效应以及执政时长固定效应。

命令运行后的结果如下所示。数据请于 AER 官网 「下载」。

quietly use "analysis.dta", replace
reghdfe log_salary_governor_gbp no_colonies connected, ///
          absorb(aid year duration) vce(cluster bilateral)
(MWFE estimator converged in 26 iterations)

HDFE Linear regression                          Number of obs   =  3,510
Absorbing 3 HDFE groups                         F(   2,   1517) =  25.45
Statistics robust to heteroskedasticity         Prob > F        = 0.0000
                                                R-squared       = 0.9255
                                                Adj R-squared   = 0.9109
                                                Within R-sq.    = 0.0978
Number of clusters (bilateral) =      1,518     Root MSE        = 0.2374

                    (Std. Err. adjusted for 1,518 clusters in bilateral)
------------------------------------------------------------------------
             |            Robust                                        
log_salary~p |    Coef.  Std. Err.     t    P>|t|   [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------
 no_colonies | .2234767  .0347473    6.43   0.000   .1553189    .2916346
   connected | .0972969  .0355508    2.74   0.006   .0275628    .1670309
       _cons | 7.485619   .065766  113.82   0.000   7.356617    7.614621
------------------------------------------------------------------------

Absorbed degrees of freedom:
-----------------------------------------------------+
 Absorbed FE | Categories  - Redundant  = Num. Coefs |
-------------+---------------------------------------|
         aid |       456           0         456     |
        year |       110           1         109     |
    duration |         7           1           6    ?|
-----------------------------------------------------+
? = number of redundant parameters may be higher

上述结果表明，变量 connected 的系数为 0.097, 标准误为 0.036。这说明该变量在 1% 的水平上显著大于 0 。其经济学含义为，与上一任官员存在社会联系的官员，相较于无社会联系的官员，工资水平要高出 9.7%。也就是说，官员的工资水平和其社会关系显著相关。

4. 结语

这篇推文主要介绍了如何在实证中运用 reghdfe。具体而言，本推文列举了两个例子。其一，为运用该命令对 DID 模型进行估计。其二，为运用该命令进行多维固定效应线性模型的估计。

若想对该命令有更多的了解，可参阅如下推文： - 秦利宾, 2022, Stata：关于reghdfe命令常见问题解答, 连享会 No.852. - 游万海, 连玉君, 2020, Stata: 面板数据模型一文读懂, 连享会 No.122.

5. 参考文献

  • Correia, S. (2016). Linear Models with High-Dimensional Fixed Effects: An Efficient and Feasible Estimator, Working Paper. [PDF]
  • Correia, S., Guimarães, P., & Zylkin, T. (2020). Fast Poisson estimation with high-dimensional fixed effects. The Stata Journal, 20(1), 95–115. Link, PDF, Google.
  • Duflo, E. (2004). The medium run effects of educational expansion: evidence from a large school construction program in Indonesia. Journal of Development Economics, 74(1), 163–197. Link, PDF, Google.
  • Xu, G. (2018). The Costs of Patronage: Evidence from the British Empire. American Economic Review, 108(11), 3170–3198. Link (rep), PDF, Appendix, Google.
  • Clarke, D., & Tapia-Schythe, K. (2021). Implementing the panel event study. The Stata Journal, 21(4), 853–884. Link, PDF, Google.

 

6. 相关推文

Note：产生如下推文列表的 Stata 命令为：
  lianxh reghd 高维, nocat md0
安装最新版 lianxh 命令：
  ssc install lianxh, replace