15 资产收益率（Asset Returns）
Source: Tsay, Ruey S. (2010). Analysis of Financial Time Series. 3rd Edition. Wiley. Chpater 1
大多数金融研究都侧重于资产的收益率而非价格。对此，Campbell, Lo and MacKinlay (1997) 归因如下：其一，对于普通投资者而言，资产的收益率是一种完整且无量纲的衡量指标；其二，相比价格指标，收益率具有诸多良好的统计性质，更容易分析。
然而，资产收益率的定义并不唯一，以下介绍几种常见定义（暂不考虑分红的情况）。
15.1 简单收益率
15.1.1 单期简单收益率（One-Period Simple Return）
若在时间点 \(t - 1\) 买入一项资产并持有至时间 \(t\)，其 简单总收益率（gross return） 定义为：
\[ 1 + R_t = \frac{P_t}{P_{t-1}} \quad \text{或} \quad P_t = P_{t-1}(1 + R_t) \]
相应的 单期简单净收益率（net return） 为：
\[ R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} \]
15.1.2 多期简单收益率（Multiperiod Simple Return）
若持有资产 \(k\) 个时期（从 \(t - k\) 到 \(t\)），则 \(k\) 期总简单收益率为：
\[ 1 + R_t^{[k]} = \frac{P_t}{P_{t-k}} = (1 + R_t)(1 + R_{t-1}) \cdots (1 + R_{t-k+1}) = \prod_{j=0}^{k-1} (1 + R_{t-j}) \]
它是单期简单收益率的乘积，故又称 复利收益（compound return）。
因此，\(k\) 期净简单收益率可以采用如下公式计算：
\[ R_t^{[k]} = \frac{P_t - P_{t-k}}{P_{t-k}} \]
讨论收益率时需注意时间间隔（如月度、年度等）。若资产持有时间为 \(k\) 年，则年化收益率为：
\[ \text{Annualized} \{R_t^{[k]}\} = \left( \prod_{j=0}^{k-1} (1 + R_{t-j}) \right)^{1/k} - 1 \]
这可理解为几何平均收益率，其对数形式计算为：
\[ \text{Annualized} \{R_t^{[k]}\} = \exp \left( \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} \ln(1 + R_{t-j}) \right) - 1 \]
由于一阶泰勒展开较简单，且当 \(R_t\) 较小时近似较好，因此可采用以下近似公式：
\[ \text{Annualized} \{R_t^{[k]}\} \approx \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} R_{t-j} \]
但在某些应用中 (部分时点上的收益率过高)，该近似的准确性可能不足。
15.2 连续复利收益率（Continuously Compounded Return）
在介绍连续复利收益率之前，先理解复利的影响。假设年利率为 10%，初始投资为 $1：
- 若年付一次，则最终价值为：$1 × (1 + 0.1) = $1.10
- 若半年一次，单次利率为 5%，则一年后为：$1 × (1 + 0.05)² = $1.1025
- 若按 \(m\) 次支付，则终值 (FV)：
\[ FV = 1 × \left(1 + \frac{0.1}{m} \right)^m \]
当 \(m \to \infty\) 时，终值趋近于 \(\exp(0.1) = 1.10517\)，即连续复利的结果。
因此，连续复利终值为：
\[ A = C \exp(r × n) \]
其中 \(C\) 为初始资金，\(r\) 为年利率，\(n\) 为投资年数。其对应的现值计算公式为：
\[ C = A \exp(-r × n) \]
15.3 对数收益率（Log Return）
资产的对数收益率定义为简单收益率总额的自然对数：
\[ r_t = \ln(1 + R_t) = \ln \left(\frac{P_t}{P_{t-1}} \right) = \ln(P_t) - \ln(P_{t-1}) = p_t - p_{t-1} \]
其中，\(p_t = \ln(P_t)\)。因此，对数收益率也称为对数价格差（log price difference），通常表示为 \(r_t = \Delta\ln P_t\)。
补充说明：
在实际分析中，常常对价格序列取自然对数后再进行一阶差分。对于较小的收益率，变量对数的一阶差分可以近似为该变量的百分比变化，即简单收益率：
\[ \begin{aligned} \Delta \ln(y_t) &= \ln(y_t) - \ln(y_{t-1}) \\ &= \ln\left(\frac{y_t}{y_{t-1}}\right) \\ &= \ln(1 + R_t) \\ &\approx R_t = \frac{y_t - y_{t-1}}{y_{t-1}} \end{aligned} \]
其中 \(R_t\) 表示 \(t\) 时点的简单收益率。这里利用了 \(\ln(1 + x) \approx x\) 当 \(x\) 较小时的近似关系。
对数收益率的一个重要优点在于，多期总对数收益率 是各期对数收益率之和：
\[ r_t^{[k]} = r_t + r_{t-1} + \cdots + r_{t-k+1} \]
15.4 投资组合收益率（Portfolio Return）
若一个投资组合包含 \(N\) 个资产，各自的权重为 \(w_i\)，则该投资组合的简单收益率为：
\[ R_{p,t} = \sum_{i=1}^{N} w_i R_{it} \]
需要注意的是，对数收益率不满足线性加权性质。若 \(R_{it}\) 较小，可以用近似公式：
\[ r_{p,t} \approx \sum_{i=1}^{N} w_i r_{it} \]
15.5 分红的影响（Dividend Payment）
若资产在 \(t - 1\) 至 \(t\) 期间支付红利 \(D_t\)，则应调整收益率计算：
\[ R_t = \frac{P_t + D_t}{P_{t-1}} - 1, \quad r_t = \ln(P_t + D_t) - \ln(P_{t-1}) \]
15.6 超额收益（Excess Return）
超额收益为资产收益与某一基准（如短期国债）收益之间的差值：
\[ Z_t = R_t - R_{0t}, \quad z_t = r_t - r_{0t} \]
这是套利组合的理论回报：做多资产、做空基准，无初始投资。
注：“做多”即拥有该资产；“做空”指借入资产出售，并在未来买回偿还。做空者需支付红利给持有人，因此资产下跌才能盈利。
15.7 小结
对数与简单收益率关系：
\[ r_t = \ln(1 + R_t), \quad R_t = e^{r_t} - 1 \]
若用百分数表达：
\[ r_t = 100 \ln\left(1 + \frac{R_t}{100} \right), \quad R_t = 100\left(e^{r_t / 100} - 1 \right) \]
多期收益率聚合关系：
\[ 1 + R_t^{[k]} = \prod_{j=0}^{k-1}(1 + R_{t-j}), \quad r_t^{[k]} = \sum_{j=0}^{k-1} r_{t-j} \]
现值与终值关系（连续复利）：
\[ A = C \exp(r × n), \quad C = A \exp(-r × n) \]